Pomladni pozdrav

Pa vse rože cveto, pa vsi tički pojo . . . , pa zakaj? Pa zato, pa zato, ker je maj!

                         Oton Župančič

Sem popoln?

Da, cel.

Kaj mi manjka?

Ničesar, ker sem popoln.

Mi kaj manjka, saj sem cel?

Da, ker sem popoln.

Cel?

Ne, popoln.

Manjka mi celota, saj sem popoln?

Ne manjka mi popolnosti, ker nisem popoln?

Tudi cel ne, saj sem popoln?

Nisem cel, ne popoln, ker sem cel?

Popoln sem in cel, saj nisem popoln?

Sem lahko cel, ker nisem ne cel ne popoln?

Kako sem lahko popoln ter cel, saj nisem popoln?

Sem celovit?

Cel in popoln?

Cel sem, ker nisem celovit, marveč popoln?

Nisem celovit?

Sem popoln, saj nisem cel?

Cel sem: nisem popoln, temveč celovit?

Sem lahko celovit le tedaj, če nisem ne cel ne popoln?

Samo, če nisem celovit, ker sem popoln ter cel?

Kako naj bom cel in popoln, če sem popoln natanko tedaj, ko nisem celovit, marveč cel, cel pa natančno takrat, ko sem celovit, saj nisem popoln?

Kako naj bom popoln ter cel, če sem cel natanko tedaj, ko sem popoln, ker nisem cel, popoln pa natančno takrat, ko sem cel, saj sem »popoln«.

Je kaj onstran zavesti, ker zavest nima zunanjosti?

Na drugi strani zavesti je moja zavest?

Je onstran moje zavesti zavest?

Cela zavest je popolna, saj je celovita?

Je popolna zavest celovita, ker je cela?

Zavest nima druge strani?

Tam je moja zavest?

Ima moja zavest samo eno stran?

Je na drugi strani zavest?

Onstran te ni ničesar?

Moja zavest nima zunanjega roba?

Danes je breg en sam?

Na hrbtu popolne in cele zavesti je celovitost, saj cela ter popolna zavest nima hrbta?

Ničesar ni onstran?

Le celovitost?

Ta je na hrbtu cele in popolne zavesti?

Na hrbtu cele zavesti je popolnost?

Zavest ni celovita?

Ni celovita, ker je na hrbtu popolne zavesti celota?

Na hrbtu cele zavesti je celovitost?

Zavest ni popolna?

Na hrbtu popolne zavesti ni celovitosti, saj je zavest cela?

Na hrbtu cele zavesti ni celovitosti, ker je zavest popolna?

Na hrbtu popolne zavesti je celovitost, saj zavest ni cela?

Zavest nima hrbta?

Ni onstran hrbta ničesar?

Tam je njena popolnost ter celost, ker je zavest celovita?

Vmes je hrbet?

Hrbet deli zavest, ta pa hrbet?

Zavest je popolna in cela ter celovita, saj nima hrbta?

Ji ničesar ne manjka?

Med njeno popolnostjo in celoto je hrbet, ker zavest ni celovita?

Zavest je celovita?

Na hrbtu popolne zavesti je cela zavest; na drugi strani popolne zavesti ničesar ni?

Zavest deli hrbet?

Ničesar ni onstran njenega hrbta?

Se hrbet zavesti zaveda, da je cel, saj je popoln, ker je celovit?

Zavest ga nima, saj ga ima, ker nima zunanjosti?

Zadnjo ima, nima pa hrbta?

Zavest ni razcepljena?

Ničesar je ne deli, saj je brez druge strani?

Kaj je onstran zavesti, ki nima druge polovice?

Kaj je na drugem robu zavesti, ki ji drugi breg manjka?

Ima en sam breg?

Na drugi strani je rob?

Med bregom ter robom je hrbet, le da zavest hrbta nima?

Kaj torej deli mojo zavest, ker sem svoboden?

Ničesar, saj delam, kar hočem?

Ni res, da hočem, kar hočem?

Hrbta nimam, ker ga imam?

Svoboden sem, saj nisem?

Nisem svoboden, ker sem?

Lahko hočem, kar hočem, saj nisem svoboden?

Svoboden sem?

Ni res, da lahko hočem, kar hočem?

Storim karkoli?

Ne morem hoteti, kar hočem?

Tako sem določen, ker sem svoboden?

Danes je en sam rob?

Onstran zavesti je moja zavest, zunaj prve pa nič?

Ni na drugi strani moje zavesti ničesar?

Tam je zavest?

Matematiki se vpraša: ‘Kaj so naravna števila?’

Preprostega odgovora ni.

Najbolj znana je izjava matematika L. Kroneckerja (1823-1891) o celih številih: ‘Cela števila je ustvaril Bog, vse drugo pa je naredil človek.’

Kaj so torej naravna števila?

V matematiko uvedemo naravna števila s Peanovimi aksiomi, ki so nastali kot plod sodelovanja med italijanskim matematikom Giuseppom Peanom (1858-1932) ter nemškim matematikom Richardom Dedekindom (1831- 1916).

Peanovi aksiomi:

A1. 1 je naravno število.

A2. Vsakemu naravnemu številu n pripada natančno določeno naravno število – neposredni naslednik n’.

A3. Različni naravni števili imata različna naslednika. Če je n’ = x’, je tudi n = x.

A4. 1 ni naslednik nobenega naravnega števila.

A5. Vsaka množica naravnih števil, ki vsebuje število 1 in je v njej obenem s številom n tudi njegov naslednik n’ = n + 1, vsebuje vsa naravna števila.

Iz Peanovih aksiomov z logičnim sklepanjem izpeljemo vso aritmetiko naravnih števil.

Od kod torej 1, če 1 ni naslednik nobenega naravnega števila?

Množica naravnih števil . . . vsebuje vsa naravna števila?

Koliko jih je?

Če vem od kod so naravna števila, vem, koliko jih je.

Če vem, koliko jih je, vem od kod so naravna števila.

Zakaj ne vem od kod so naravna števila, ne, koliko jih je?

Ker verjamem.

Lahko kaj vem, če tega ne verjamem?

Če to verjamem, kaj vem?

Česar ne vem?

Vem, kar verjamem, saj tega ne vem?

Ne vem, ker vem, saj tega ne verjamem?

Ne morem vedeti, če ne verjamem?

Ne morem verjeti, če ne vem?

Lahko verjamem, da je cela števila ustvaril Bog, vse drugo pa je naredil človek?

Ne verjamem v Boga?

Ne verjamem, da je Bog ustvaril cela števila ter da je vse drugo naredil človek, ker ne verjamem, da je Bog ustvaril naravna števila?

Verjamem, da Bog ni ustvaril naravnih števil, saj verjamem, da je človek iz naravnih števil ustvaril cela števila?

Seštevanje naravnih števil prikažemo na številski premici tako, da gremo od izhodišča 0 za toliko enakih korakov v desno, kolikor je prvi člen vsote, in nato za toliko enakih korakov v desno, kolikor je drugi člen vsote.

Točka, do katere pridemo, je slika vsote.

Obrnimo smer korakanja v levo ter se vprašajmo: ‘Kaj dobimo, če gremo od točke, ki je na številski premici slika naravnega števila 7, za 3 korake (enote) v levo?’

Točka, do katere pridemo predstavlja razliko dveh števil.

V našem primeru je to slika števila 4.

Do nje smo prišli tako, da smo od slike števila 7 odkorakali v levo za 3 korake.

Operacijo imenujemo odštevanje in račun zapišemo:

7 – 3 = 4

ter preberemo:

7 minus 3 .

Prvo število je zmanjševanec (minuend), drugo odštevanec (subtrahend).

Vidimo, da velja tudi 7 = 4 + 3 .

Splošno.

Zmanjševanec je enak vsoti razlike in odštevanca, kar zapišemo:

a – b = c <=> a = c + b .

Zapis predstavlja definicijo odštevanja.

Pove, da lahko vsako odštevanje zapišemo v obliki seštevanja.

Odštevanje moremo opisati tudi takole:

° Odštevanec ‘prenesemo’ prek enačaja ter ga prištejemo k razliki.

° Pri ‘prenosu’ prek enačaja odštevanec spremeni predznak.

Seštevanje je v množici N (naravnih števil) vedno izvedljivo; je notranja operacija.

Ni pa tako z odštevanjem, ker je 1 najmanjše naravno število.

Če odkorakamo po številski premici na primer od števila 3 za 5 korakov v levo, pridemo po dveh korakih do števila 1.

Korakati bi morali še tri korake v levo.

Tam ni več slik naravnih števil in sledi:

° Množica naravnih števil za odštevanje ni zaprta.

° Če je odštevanec večji od zmanjševanca, odštevanje v množici naravnih števil ni izvedljivo.

Razširimo množico naravnih števil, da bo odštevanje vedno izvedljivo.

Začetni točki 0 (izhodišču številske premice) priredimo število 0.

Čez to točko nato prezrcalimo slike vseh naravnih števil ter jim pripišemo znak minus.

(Na primer: naravnemu številu 1 priredimo zrcalno sliko – število -1 . . .)

Vsa števila, ki jih dobimo z zrcaljenjem, so k danim številom nasprotna števila.

Dobili smo množico celih števil: Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …} .

Sestavljajo jo naslednje podmnožice:

1. Podmnožica Z+ = N = {1, 2, 3 …}, ki ji rečemo množica pozitivnih celih števil in jo lahko zapišemo tudi kot {+1, +2, +3, …} .

2. Podmnožica {0}, ki vsebuje število nič: ni ne pozitivno ne negativno.

3. Podmnožica negativnih celih števil Z- = {-1, -2, -3 …} .

To tudi pregledno zapišemo:

Z = Z- # {0} # Z+ ; Z+ = N , # = unija.

Število nič so odkrili v Indiji v 5. stoletju; danes uporabljamo zanj znak 0 (ničla).

(Nekaj posebnosti pri računanju z ničlo:

a – a = 0      Če od danega števila odštejemo isto število, dobimo nič.

a + 0 = a     Pri seštevanju nič nima »moči«; nobeno število se ne spremeni, če mu prištejemo nič.

a . 0 = 0      Pri množenju ima nič veliko »moč«; množenje z nič vsa števila izniči.

a na 0 = 1      Pri potenciranju ima nič zanimivo »moč«, saj je vrednost potence s poljubno osnovo, različno od nič ter eksponentom 0, vedno enaka 1.

0 : 0      Deljenje z ničlo je prepovedano.)

Babilonska ničla (iz 3. stoletja pred našim štetjem v obliki poševnega dvojnega klina) je imela vlogo znaka, ne števila.

Tudi majevska ničla, v obliki polževe hišice, je imela vlogo znaka ; omogočala je nedvoumen zapis števil.

Šele indijska ničla (5. stoletje) v obliki krogca, imenovanega sunja, ki v sanskrtu pomeni praznino, je že znak za število nič.

Izraz so v arabščino prevedli kot sifr, v latinščino pa kot zephirum.

Od tod je le korak do besede zephiro in zero – ničla.

Negativna števila so v matematiko prodirala počasi.

Babilonci so jih poznali, ni pa znano, ali so z njimi računali.

Z njimi so pred dva tisoč leti računali Kitajci.

Egipčanski ter grški misleci jih niso poznali, pozneje pa tudi ne arabski matematiki.

Pri indijskih »računovodjih« najdemo negativna števila v 6. in v 7. stoletju.

Plačane zneske so zapisovali s pozitivnimi števili, dolgove pa z negativnimi.

Njihovi matematiki jih niso jemali resno.

Bhaskara (indijski matematik) – 1114/1185 – zapiše: negativna števila niso samostojna števila.

Evropski matematiki so število 0 poznali že od 12. stoletja.

Od 14. stoletja so poznali tudi zapis negativnih števil ter računska pravila zanje, vse do 17., 18. stoletja pa niso dojeli njihovega pravega pomena.

Italijanski matematik Leonardo iz Pise (1170–1250), znan kot Fibonacci, je v svoji knjigi (okoli leta 1200) zapisal okorno pravilo za računanje z negativnimi števili:

‘Treba je ugotoviti, da moramo rezultat prišteti, če pomnožimo nekaj, kar se odšteva, z nečim, kar se odšteva . . . Če pa nekaj, kar prištevamo, množimo z nečim, kar odštevamo, je treba rezultat odšteti.’

Negativna števila zasledimo pri nemškem matematiku Michaelu Stifelu (1486-1567) v računici (iz leta 1544) in pri francoskem matematiku Reneju Descartesu (1596-1650).

Oba sta negativna števila, ki sta jih dobila kot rešitev enačb, imenovala lažna ali absurdna števila.

Rene Descartes je vpeljal negativna ter pozitivna števila z enako absolutno vrednostjo kot daljice enakih dolžin, a nasprotnih smeri.

Na tej osnovi so kasneje vpeljali grafični prikaz negativnih števil s točkami, ki so na številski premici levo od ničle.

[Pogosto je potrebno določiti lego objekta v ravnini (pri šahu moramo opredeliti lego figure na šahovnici).

Lego določimo z dvema podatkoma, katerih vrstni red je pomemben.

Zapis h8 natančno opiše lego figure na šahovnici: skrajno desno zgornje polje.

V matematičnem zapisu bi lego zapisali z urejenim parom (h, 8) .

Zanj velja, da je vrstni red dvojice elementov, ki v njem nastopata, natančno določen:

(a, b) ni (b, a), če velja, da a ni b.

Urejena para sta enaka natančno tedaj, ko sta med seboj enaka njuna prva in njuna druga elementa.

Prvi element urejenega para elementov je iz množice A, drugi iz množice B.

Urejeni par je element kartezičnega ali premega produkta:

A * B = {(a, b); a € A ^ b € B} , € = je element, ^ = in .

Kartezični produkt A * B množic A ter B je množica vseh urejenih parov (a, b), pri čemer je a element množice A, b pa element množice B.

Funkcija (f) kartezičnega produkta X * Y (pišemo f: X -> Y) se imenuje preslikava.

Je podmnožica premega produkta, če iz (x,y1),(x,y2)€f sledi y1 = y2 : s preslikavo f je slehernemu x € X pridružen natanko en y € Y – označimo ga z f(x), z drugo besedo y = f(x).]

Točke krivulje z negativnimi koordinatami si je upal zapisati šele angleški matematik John Wallis sredi 17. stoletja.

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) je trdil, da negativna števila obstajajo ter se kvantitativno razlikujejo od pozitivnih.

Razlagal jih je kot nekaj, kar obstaja, ko pri seštevanju števila z nasprotnim številom dobimo ničlo.

Za uvedbo negativnih števil si je prizadeval tudi L. Euler (1707-1783).

Naravnih števil torej ni ustvaril Bog, ker je človek naredil vse ostalo, saj je svoboden?

Svoboden sem, ker delam, kar hočem, ni pa res, da hočem, kar hočem?

V Boga ne verjamem, saj delam, kar hočem?

Vse ostalo sem naredil tako, da nisem ustvaril naravnih števil, ker sem svoboden, saj ni res, da hočem, kar hočem?

Nisem obsojen na svobodo, ker ne smem v kavarno, saj me niso (nezavedno) izvolili, ker nisem zaprt v bunkerju?

(Kam so izvolili politika?

V parlament, kjer ga vodijo politiki iz bunkerja?)

Kaj je na koncu naravnih števil, ki nimajo konca?

Kaj je na začetku naravnih števil, ki se začnejo z 1, če pot do resnice (ki je resnica sama) nima začetka ne konca?

Ustvarim v kavarni množico celih števil, če sem svoboden tako, da ne morem iz bunkerja?

Lahko v bunkerju ustvarim množico racionalnih števil, če sem zaprt v kavarni, saj sem svoboden?

Da, če sem religiozen.

Bog me je dal, čeprav vanj ne verjamem?

Bog ni ustvaril naravnih števil?

Ustvaril je človeka, ker je Descartes naredil Kartezijev produkt?

Je Kartezij izdelal Descartesov zmnožek?

Bog ni ustvaril nravnih števil, saj je Kartezij ustvaril Descartesa, Descartes pa Kartezija?

Descartes verjame v Boga, ker ima Kartezij idejo o Bogu?

Tudi Kartezij verjame v Boga: idejo o Bogu ima Descartes?

Je Kartezij ustvaril Boga, Bog pa Descartesa?

Koga je ustvaril Descartes, če je Kartezij ustvaril Descartesa?

Descartes je ustvaril Kartezijev produkt, ne pa naravnih števil?

Je Bog ustvaril naravna števila, saj se je Kartezij spomnil Descartesov produkt, ker je Bog ustvaril Kartezija?

Bog se je spomnil naravnih števil, saj je Descartes ustvaril Kartezijev produkt, ker se je Bog spomnil Descartesa?

Bogu manjkajo naravna števila?

Ni ustvaril Descartesa, saj se je spomnil Kartezija?

Ustvaril je Descartesa, ker se ni spomnil Kartezija?

Descartes, ki ni ustvaril naravnih števil, se je pa spomnil Kartezija: ta je naredil Descartesov zmnožek, saj je Bog ustvaril Descartesa?

Je Bog ustvaril Kartezijev produkt?

Kartezijev produkt se je spomnil Descartes, ker se Bog ni spomnil Descartesa, saj je ustvaril Kartezija?

Se lahko Bog spomni naravnih števil, če je Descartes Kartezij, Kartezij pa Descartes, ker je Bog ustvaril človeka?

Da, če je človek religiozen, saj verjame v absurd.

Nisem ateist, ker sem veren, saj nisem kristjan, ker ne verjamem v Boga?

David Hume, ki je skeptične elemente prignal do vrhunca, se je izognil skrajnim posledicam lastne misli z umikom v filozofijo zdravega razuma?

Po njej moramo nekatere splošne domneve o človekovem spoznanju in o svetu (zaupanje v naša čutila, splošni zakon vzročnosti) privzeti kot razumne predpostavke, saj nimamo na voljo boljših alternativ?

S filozofijo zdravega razuma je ustvaril pojem vzročnosti?

Navadil se je, da ni res, da za vrati ni sveta?

Na to sklepa po zdravi pameti?

Sklepa deduktivno na koncu indukcije, ki se nikoli ne konča?

Čutila mu povedo, da se krogli, ki trčita, vedno odbijeta, ker ne verjame v belo vrano, ki potrjuje pravilo?

Je bela vrana ista kot črne, ki so enake?

Da, če bela vrana eksistira, črne pa bivajo.

Je bela vrana enaka kot črne, ki so iste?

Da, če bela vrana biva, črne pa eksistirajo.

Ni zdravi razum zdrave pameti največji metafizik?

Nekatere splošne domneve . . . postavi kot razumne predpostavke, saj nimamo na voljo boljših alternativ?

Verjame v vzrok ter v posledico, saj ne verjame posledicam svoje misli?

Ni razumno verjeti posledicam, ker smo se navadili vzrokov, ki nimajo nobenih posledic?

Ni razumno verjeti vzrokom, saj smo se navadili posledic, ki nimajo nobenih vzrokov?

Verjame v posledico in vzrok, ker ne verjame vzrokom svoje misli?

Kako naj se veliki skeptik umakne v dedukcijo, če ne more sklepati, da je za vrati posledica?

Za vrati je vzrok?

Na to sklepa pred vrati?

Tam ni nobene posledice, razen vzroka.

Za vrati je posledica?

Da, če se je navadil, da je pred vrati vzrok, saj je ustvaril vzročnost.

Kje je ustvaril vrata?

Na koncu nikoli končane indukcije?

Da, če potuje v Bodočnost?

Neprestano prestopa vrata, ki niso prehodna?

Stoji na mestu?

Ne, potuje skozi vrata, ker med posledico ter vzrokom (vzrokom in posledico) ni nobenih vrat.

Gre s časom naprej?

Nazaj, saj plankar nima Prihodnosti.

(Se je plankar navadil na temelj, ker nima ‘Predmeta’ ?

Se je navadil na ‘predmet’, saj nima Temelja?

temelj ni Temelj, ker je Temelj ‘Predmet’ ?

Temelj ni ‘predmet’, saj ‘Predmet’ ni temelj?

‘Predmet’ je Temelj, če ni temelj: ‘predmet’ je temelj, če ni ‘Predmet’ ?

Temelj je ‘Predmet’, če ni ‘predmet’: temelj je ‘predmet’, če ni Temelj?

Plankar »…nima…« temelja, ker ima ‘Predmet’ ?

Tudi ‘predmet’ »…ima…« , saj nima Temelja?)

Plankar nima druge možnosti kot zdravi razum (zdrave pameti)?

Le tako lahko pride do konca neskončnosti?

Zaprt je v kavarni?

Kavarna je v bunkerju, kjer je Bodoči obsojen na svobodo?

Vrata med kavarno ter bunkerjem so prestopna?

Niso prehodna?

Kavarna je bunker, ker ni med bunkerjem in kavarno nobenih vrat?

Plankar je svoboden, saj nima Prihodnosti?

Od kod torej naravna števila?

Cela števila so od Boga, vse ostalo ustvari človek?

Težava je v starem matematičnem škandalu, ki se pojavi v pitagorejskih časih ter ga poznamo v sodobnem pojmu limite.

Danes popravimo težavo tako, da se vprašamo:

‘Ni Bog od ‘Predmeta’ ?’

Od kod sicer Temelj?

Temelj je ‘Predmet’ ?

Tako smo ‘utemeljeni’, saj verjamemo v ‘Predmet’ ?

Tako smo ‘opredmeteni’, ker verjamemo v Temelj?

‘Predmet’ je Temelj?

Naši možgani so v kadi?

Ne vemo?

Ne verjamemo, saj nismo plankarji?

Na koncu neskončnosti »»ne vidimo«« ‘Predmeta’/Temelja, ker pot do resnice nima začetka, ne konca.

Temelj/’Predmet’ je onstran zavesti, saj zavest nima zunanjosti?

To verjamemo, ker tega ne vemo?

Nismo heteronomni, saj v absurd ne verjamemo?

Vse dni delamo, ker nas ne morejo prijeti za dividendo, saj nismo delavci.

Plankar nima Prihodnosti, ker potuje v neskončnost?

Mejo prestopimo, če preidemo limito?

Nismo od Boga?

Smo avtonomni, saj nismo kristjani, ateisti . . . .

Ne ravnamo se po vetru, ker ne gremo s časom naprej?

Od kod torej evolucija, če veter ne piha iz Prihodnosti?

‘Predmet’ »…spoznamo…« s praznim pojmom, saj smo prestopili ‘mejo’ ?

Ne gre nam za večnost, ampak za beli kruh?

V absurd ne verjamemo, ker smo večni.

Zavest nima zunanjosti, saj smo premagali smrt?

Tako verjamemo, ker bomo umrli.

Plankar ni človek?

Je.

Njegova paradigma je sinekdoha.

                                                                      Damjan Ograjenšek, filozof

Še beseda

Me kdo razume?

Da, nikogar ne poznam, ker pišem za Prihodnost.

Preneumen sem, da bi me izvolili, ker sem prepameten, saj nisem politik?

Nikoli me ne bodo izvolili: nisem tako neumen, da bi bil pameten.

Tako se motim, da imam prav?

Ne tako, da nimam prav.

Nisem politik, ne tako pameten, da sem v bunkerju.

Politik je za v bunker preneumen.

Ne smem v kavarno, ker nisem obsojen na svobodo.

Sem filozof, saj me v bunker niso izvolili.

(Ljudje nimajo ‘Predmeta’ : kdor pa je izvoljen (in ni politik), »…ima…« ‘predmet’, ker nima Temelja?

Ni prestopil ‘meje’, saj potuje v neskončnost.

Stoji na mestu?

Da, zgodovina gre naprej).

                                                  Damjan Ograjenšek, filozof